Notas privadas sobre paradojas y sus pseudosoluciones

 

Alfred Tarski

Cuando se soluciona o se hace un workaround, para solucionar una paradoja, realmente no se soluciona la paradoja, sino que se produce un argumento distinto con los mismos axiomas o premisas, del cual sus proposiciones triviales y/o no-triviales, no llevan a la contradicción. Recordemos que Berzelius en el siglo XIX descubre y critica la multiplicidad de formalizaciones matemáticas que puede tener un mismo fenómeno químico: no hay una sola ecuación para el fenómeno, sino que múltiples ecuaciones diferentes entre sí, son verdaderas y explican el mismo fenómeno. El teorema de indefinición de Tarski y los teoremas de incompletitud de Gödel, junto con su disyunción, hablan de la relación entre argumentos y modelos: la aritmética se ve como una relación de metalenguaje y lenguaje objeto, donde el metalenguaje es la aritmética teniendo mayor capacidad expresiva que todas las verdades tautológicas y triviales de la aritmética: es decir, la aritmética no puede ser probada por la aritmética misma, parte del sentido semántico de la aritmética es menor al sentido del cual la aritmética sería capaz de representar. La aritmética excede de semántica y sentido a todas las proposiciones y resultados aritméticos, siendo mayor en sus posibilidades o en potencia o de modo latente, en comparación con las verdades tautológicas y triviales de la aritmética. Como ven, las pruebas de Gödel y Tarski son acerca de la ausencia de completitud,  ya sea a través de la inconsistencia (la indecibilidad), o simplemente acerca de la incapacidad de la aritmética de formalizarse a sí misma. Luego la disyunción de indecibilidad de Gödel es más fuerte aún: ya que en los teoremas de incompletitud, es posible la completitud y la consistencia a través de axiomas externos, lo que quiere decir que se podría pensar en una eliminación de la indecibilidad. Pero la disyunción es acerca de cómo siempre persiste la indecibilidad, incluso en la completitud consistente a través de axiomas de sistemas axiomáticos exteriores. Esto quiere decir que un sistema axiomático que sea completo y consistente, o que logre eludir paradojas e inconsistencias, no es un sistema axiomático acerca de la totalidad de la matemática y sus teoremas o fórmulas triviales, precisamente como en la indefinición de Tarski. Eludir una paradoja o resolverla no la resuelve, sino que produce un argumento aritméticamente posible (dentro de las posibilidades de formalización como las que criticaba Berzelius), donde no aparece la contradicción, inconsistencia o indecibilidad. Los modelos y argumentos, forman un todo sintáctico matemático donde co-existen la contradicción simultánea de A y no-A, la contradicción alterna entre A y no-A (es decir, que es primero verdad o negación, y segundo negación o verdad, etc, sin que exista una contradicción dialeteísta, sino una posibilidad de completitud, donde todas las verdades y falsedades se comprueban, pero nunca al mismo tiempo su afirmación y negación), y la disyuntiva entre A y no-A como en las lógicas de valores-duales de verdadero-falso. Estas últimas son siempre del tipo contradicción alterna, ya que si hay muchos-mundos (el carácter condicional de toda lógica y de todo modus ponens), tiene que existir la posibilidad de no-A, pero no necesariamente en el mismo argumento o modelo. La contradicción simultánea está solo en la forma de la indecibilidad y la trivialidad cuántica. Eso quiere decir que hay consistencia, y que hay mucha más consistencia, y que la indecibilidad entendida como una contradicción simultánea real dialeteísta, no consume todo, pero está presente siempre. Los sistemas completos simplemente ignoran la realidad de otros sistemas axiomáticos, y el todo de la matemática, además de ser consistente entre sí por sus relaciones entre axiomas exteriores unos a otros, también incluye la completitud y la indecibilidad: la completitud porque el carácter alterno de lo verdadero y lo falso permite que, en argumentos diferentes, haya completitud con lo que en otro sistema de axiomas fue falso, pero que es sintácticamente consistente con su propio sistema de axiomas del que forma parte. Por último, la indecibilidad equivalente a la trivialidad cuántica y la superposición: precisamente esa diferencia entre contradicciones alternas entre sistemas de axiomas que forman el todo de la sintaxis matemática, y la contradicción simultánea dialeteísta, se puede decir que es como la superposición y los qubits.